乐正

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Sicp-ex2-9

问题

区间的宽度就是其上界和下界之差的一半。区间宽度是有关区间所描述的相应数值的非确定 性的一种度量。对于某些算术运算,两个区间的组合结果的宽度就是参数区间的宽度的函数, 而对其他运算,组合区间的宽度则不是参数区间宽度的函数。证明两个区间的和(与差)的 宽度就是被加(或减)的区间的宽度的函数。举例说明,对于乘和除而言,情况并非如此。

解答

  • 证明两个区间的和(与差)的宽度就是被加(或减)的区间的宽度的函数。

设区间$a = [x_1, x_2]$,区间$b = [y_1, y_2]$,则:

$$ c = a + b = [(x_1 + x_2), (y_1 + y_2)] $$

则c的宽度为:

$$ \begin{align} f(x) & = \frac {(y_1 + y_2) - (x_1 + x_2)} {2} \\ & = \frac {x_1 - x_2} {2} + \frac {y_2 - y_2} {2} \end{align} $$

$\therefore$ 两个区间和的宽度就是被加的区间的宽度的函数。同理可证两个区间差的宽 度就是被减的区间的宽度的函数。

  • 举例说明,对于乘除而言,情况并非如此。

设区间$a = [2, 4]$,区间$b = [4, 8]$,那么$a$的区间宽度为1,$b$的区间宽度为2, 而$a \times b$的区间宽度为12。$a \div b$的区间宽度为$5 \over 8$。都不等于它们各 自区间宽度的乘积或者除商。

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